Мьг уже неоднократно встре­чались с экспонентой на страницах этой книги. Познакомимся с ней немного подробней.

Пусть некий показатель изменяется со ьременем экспоненциально:

QU) = Q0ea‘ —

В этом выражении е — основание натуралиных логарифмов, константа, равная 2,71828…, а — постоянная величина, имеющая размерность

— значение величины Q в начальный момент времени / = О В диффе­ренциальной форме экспоненциальный закон рос-а имеет вид

DQ — aQclt.

То есть абсолютное припащеиие ClQ величины Q за малое время Clt про порционально значению этой величины Qu) в рассматриваемый момент времени. Относительное приращение DQIQ = О.Dt, при <//=1 UQIQ= а. Следовательно, а представляет собой относительное приращение Q в еди­ницу времени. Величина а часто выражается в процентах, это может
быть годовой прирост производства угля, нефти и т. д Гели а « 1 (но только в этом случае!), вместо выражения (5.1) можно использовать фор­мулу сложных процентов:

») = GoO + ос)’ (5.3)

Важной характеристикой экспоненты является период удвоеиия. Это время, в течение которого экспоненциально возрастающая величина уве личивается вдвое Период удвоения т связан с относительным прираще нисм а:

1п2 0,693 /с т = = . (5.4)

А а

Так относительному приросту 1% в год соответствует время удвоеиия 69 лет, относительному годовому приросту 3% соответствует время удво­ения 23 года и т. д. С учетом времени удвоения выражение (5.1) можно переписать в виде

Q(T) = е0 2’л.

Рассмотрим накопление величины Q, возрастающей по экспоненци­альному .закону Пуст,) это будет население некоего вымышленного горо­да. Предположим, что он был основан 500 лет назад, население его в гот момент составляло 100 человек и с тех пор неуклонно увеличивалось с постоянным годовым приростом 2%. При таком темпе роста к настоя­щему времени оно достигнет 2,2 млн чел. Как будет увеличиваться насе леиие в будущем? Поскольку годовому проросту 2% соответствует время удвоения 35 лет, >то значит, что через 35 лет население города удвоится. То есть за 35 лет население увеличится на столько же, на сколько оно возросло за все 500 лег предыдущего развития! Следующие 35 лет оно вновь удвоится, и т. д. — таков характер экспоненты. Теперь представим себе, что мы, ие зпая истинного закона роста, хотим прогнозировать численность населения в будущем. Самое простое предположение, что население растет линейно со временем, увеличиваясь каждый год в сред­нем на 4000 человек (линейная экстраполяция). Тсяда в следующие 500 дет население возрастет на те же 2,2 млн чел, еще через 500 лет оно опять увеличится на 2,2 млн чел, затем через 500 лет — вновь на 2,2 млн чел и т. д. Таким образом, через 1500 лет население увеличится вчетверо. В действительности, при экспоненциальном росте с периодом удвоения 35 лет это произойдет всего через 70 лет. Разница между величинами 1500 лет и 70 лет характеризует ошибку прогноза при линейной экстра поляции. Дальше со временем эта ошибка будет быстро нарастать,

Развитие нашей технической цивилизации сопряжено с расходо­ванием энергии и различных земных ресурс ов: древесины, угля, неф] и, газа, железа, алюминия и т. д. Как бы ни была богага Земля, ясно, что ресурсы ее все-таки ограничены и со временем они долж­ны истощиться. Весь вопрос в том, ко! да это произойдет. Если это будет через миллионы лег, то мы можем не беспокоиться и не ду­мать сейчас об этом. Бесполезно (и даже самонадеянно!) пытаться решать проблемы столь далекого будущего. Кто знает, какого раз вития достигнет цивилизация к гому времени, какими возможнос­тями она будет обладать! Может быть, она освоит полностью бе­зотходную технологию и будет воспроизводить все необходимые ей ресурсы. А может быть… бесполезно гадать, что можс! быть че­рез миллионы лет.

Другое дело, если до истощения ресурсов остается немного вре­мени. Еще не так давно, в серецинс XX века, многие люди (не все, но многие), занимавшиеся прогнозами, были настроены довольно оптимистически. Это вызывалось тем, что, несмотря на интенсив­ную разработку полезных ископаемых и истощение некоторых ста­рых месторождений, постоянно открывались новые, более бога­тые месторождения, появлялись новые более выгодные источники энергии и, казалось, этому не будет коипа. Может быть, не всегда осознанно авторы оптимистических прогнозов, но существу, осно­вывались на «линейной экстраполяции» процессов. Но проблема в том, что развитие идет не линейно, а по экспоненте, следовательно, ресурсы истощаются гораздо быстрее. Чтобы показать, как «рлбо тает» экспонента, проведем несложный расчет. Общее количество вещества, которое перерабатывастся современным производством, составляет 1017 т. По сравнению с массой Земли (6 ■ 1()27 г) это со­вершенно ничтожная величина. Но она удваивается каждые 17 лег. Если процесс будет происходить в том же темпе, то менее чем за 1000 лет будет переработана вся масса Земли (!). Для цивилизации, сфера деятельности которой ог раничена ее планетой (о выходе в космос поговорим позднее), такая ситуация совершенно ггевозмож на Поэтому темпы роста со временем должны уменьшит ься Одна ко если экспоненциальный характер развития сохранится, то и при меньших темпах масса Земли будет исчерггана очень скоро (при еже 1 одном темпе роста 1% это произойдет через 4000 лет). Отсюда ясно, что экспоненциальное развитие не может продолжаться нео пределенно долго. Это — су. убо неравновесный процесс, и он мо­жс г предел авлять лишь временную стадию в развитии цивилизаций. Для земной цивилизации эта стадия должна прекратиться очень ско­ро. Чтобы яснее осознать суть проблемы, остановимся на двух важ­нейших показателях развития нашей цивилизации: рост народона селения и рост энергопот ребления Начнем с энергетики